Probabilidad y Estadística

 

 

 

Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias.

Walpole, Myers, Ye, Myers.

 

 

Teoría de Conjuntos

Introducción de conjuntos: notación, pertenencia, método de enumeración o tabulación (extensión).

 

Conjuntos especiales, conjunto universal, conjunto vacío, numero de elementos de un conjunto, conjunto finito, conjunto infinito.

 

Subconjuntos, igualdad de subconjuntos, conjuntos disjuntos.

 

Operaciones entre conjuntos: complemento, propiedades de la complementación.

 

Intersección de conjuntos y unión de conjuntos, diferencia de conjuntos.

 

Conjunto producto para 2 conjuntos.

 

Conjunto producto para 3 ó más conjuntos.

 

Diagrama de árbol.

 

Diagramas de Venn Euller.

 

Regiones entre los diagramas (1, 2 y 3 conjuntos).

 

Tablas de pertenencia.

 

Número de elementos de un conjunto.

Diagramas de Venn

EJEMPLO 1: De 180 maestros de una universidad 135 tienen su Doctorado, 146 son investigadores de tiempo completo y 114 son Doctores e investigadores de tiempo completo.

Indicar cuántos de estos maestros:

a)   Tienen su doctorado ó se dedican a investigar de tiempo completo.

b)   No tienen su doctorado, ni se dedican a investigar de tiempo completo.

 

EJEMPLO 2: En una empresa se realiza una encuesta a sus 50 empleados y se obtiene la siguiente información.

35 de ellos les gusta su trabajo.

27 de ellos tienen buenas relaciones con su jefe.

15 de ellos les gusta su trabajo y tienen buenas relaciones con su jefe.

Determinar cuántos de estas personas:

a)   No tienen buenas relaciones con su jefe.

b)   No les gusta su trabajo.

c)   Les gusta su trabajo pero no tienen buenas relaciones con su jefe.

d)   Tienen buenas relaciones con su jefe pero no les gusta su trabajo.

e)   No tienen buenas relaciones con su jefe y no les gusta su trabajo.

 

En una fiesta infantil hay 3 sabores de agua fresca: guayaba, naranja y tamarindo. Representa gráficamente con diagramas de Venn y con expresiones matemáticas los siguientes sucesos en el consumo de los niños.

a) No consumen agua de guayaba.

b) No les gusta ninguno de los 3 sabores.

c) Prefieren solo agua de guayaba.

d) Prefieren agua de guayaba o de naranja pero no de tamarindo.

 

Una orquesta de 20 músicos deciden formar 2 grupos musicales, uno de música clásica y otro de música de salón, el primero con 8 personas y el segundo con 12, si 3 de los músicos pertenecen a los 2 grupos. ¿Cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo?

 

El departamento de personal de una maquiladora contrata programadores, 25 de ellos para tareas de programación de sistemas y 40 para programas de aplicación; 10 de todos los contratos deben realizar trabajos de ambas especialidades. ¿Cuántos programadores se deben contratar?

 

¿A cuántas personas se entrevistaron en una encuesta sobre los programas de televisión que prefieren las amas de casa?, si se obtuvieron los datos siguientes; 19 películas, 23 conciertos, 17 noticieros. Algunas personas de estos resultados agregaron otras preferencias; 9 películas y conciertos, 6 conciertos y noticieros, 4 películas y noticieros, 3 películas, conciertos y noticieros.

 

Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2000 personas para apreciar los efectos radiales. Al tabular los resultados de la muestra ha concluido que:

580 personas escuchaban el programa A.

840 personas escuchaban el programa B.

920 personas escuchaban el programa C.

260 personas escuchaban el programa A y B.

220 personas escuchaban el programa A y C.

300 personas escuchaban el programa B y C.

100 personas escuchaban el programa A, B y C.

a: ¿Cuántas personas escuchaban el programa A, solo el programa B, solo el programa C?

b: ¿Cuántas personas escuchaban solo los programas A y B, solo los programas A y C, solo los programas B y C?

c: ¿Cuántas personas escuchaban el programa B, el C o ambos?

d: ¿Cuántas personas escuchaban al menos 1 de los 3 programas?

e: ¿Cuántas personas no escuchaban ninguno de los 3 programas?

 

Una agencia automotriz vendió 47 automóviles en Marzo de 1965,

23 de ellos tenían dirección hidráulica,

27 eran de cambios automáticos y

20 tenían radio.

7 tenían dirección hidráulica, cambios automáticos y radios.

3 tenían dirección hidráulica y cambios automáticos pero no tenían radio.

2 tenían cambios automáticos y radio pero no tenían dirección hidráulica.

4 tenían dirección hidráulica y radio pero no tenían cambios automáticos.

¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios?

 

En una prueba de algún circuito de alumbrado eléctrico se encontraron 10 defectuosos. De estos 7 tenían filamentos rotos, 5 tenían conexiones defectuosas y 4 tenían alambres rotos.

1 de ellos tenía el filamento roto y la conexión defectuosa pero los alambres estaban bien;

1 tenía la conexión defectuosa y 1 alambre roto pero los filamentos estaban bien;

2 tenían filamentos rotos y alambres rotos pero las conexiones estaban bien y

3 tenían solamente los filamentos rotos.

a) ¿Cuántos circuitos eran defectuosos debido a las 3 fallas?

b) ¿Cuántos circuitos tenían alambres rotos solamente?

 

 

En una encuesta entre 1500 trabajadores y padres de familia de una empresa, se obtuvieron los datos siguientes:

775 tienen casa propia, 800 automóvil, 760 servicio de cablevisión; de todos estos 300 señalaron que además de tener casa tienen automóvil,

250 casa y cablevisión,

270 automóvil y cablevisión,

200 con mejor situación económica tienen las 3 cosas.

¿Cuántos tienen solo 2 cosas?

¿Cuántos al menos 2?

¿Cuántos padres de familia no tienen ninguno de estos 3 bienes?

 

En una escuela de enseñanza media superior, de los alumnos reprobados que presentaron su examen extraordinario de matemáticas, física y química, los alumnos que reprobaron las 3 materias deberán repetir el curso, los resultados fueron los siguientes:

8% aprobaron las 3 materias

20% aprobaron matemáticas y física

16% aprobaron matemáticas y química

28% aprobaron física y química

56% aprobaron matemáticas

59% aprobaron física

56% aprobaron química

¿Qué porcentaje de alumnos deberá repetir el curso?

¿Qué porcentaje aprobó solo una materia?

 

 

La cámara de la industria textil ha efectuado un estudio sobre un grupo de 692 empleados de varias empresas, en lo referente a sexo, estado civil y lugar de origen. Se han obtenido los siguientes resultados:

300 hombres.

230 casados.

370 nacidos en el Distrito Federal.

150 hombres casados.

180 hombres del Distrito Federal.

90 casadas del Distrito Federal.

10 hombres solteros nacidos fuera del distrito federal.

a) se pretende encontrar el número de personas que son hombres, casados y nacidos en el Distrito Federal.

b) El número de personas que son mujeres, casadas y nacidas en el interior.

c) El número de personas que son mujeres solteras y nacidas en los estados.

Combinatoria

De cuantas maneras puede una organización que tiene 26 miembros elegir un presidente, un tesorero y un secretario suponiendo que ninguna persona se elija más de una vez.

 

De cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar parejas de diferente sexo de un grupo de 4 hombres y 6 mujeres.

 

Existen 4 líneas de transportes entre A y B y 3 líneas entre B y C.

a) ¿De cuántas maneras puede una persona viajar de A a C pasando por B?

b) ¿De cuántas maneras puede una persona hacer un viaje de ida y regreso de A a C pasando por B?

c) ¿De cuántas maneras puede una persona hacer un viaje redondo de A a C pasando por B, si no desea usar la misma línea de transporte más de una vez?

 

Cuántos números de 2 cifras pueden hacerse con los dígitos 2, 4, 6, 8 si

a) se permiten las repeticiones.

b) no se repiten las cifras.

 

Cuántos comités diferentes podrían formarse con un estudiante de primer año, uno del segundo año y uno del tercer año. Si se puede elegirse de los siguientes grupos: 40 de 1º, 30 de 2º, 25 de 3º.

 

Cuántos números de 4 cifras menores de 5000 pueden formarse con los dígitos 1, 2, 4, 6, 8 si:

a) se permiten las repeticiones.

b) no se permiten las repeticiones.

 

Se van a marcar ciertas placas usando 2 letras seguidas de 4 digitos. ¿De cuántas maneras pueden marcarse? Si:

a) pueden repetirse las letras en los dígitos.

b) no se permiten las repeticiones.

Permutaciones Lineales

En una empresa 5 ejecutivos asisten a una junta donde hay 7 sillas. Calcule de cuantas formas pueden ocupar las sillas.

 

Cuantas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra MONDAY si:

a) se usan 4 letras a la vez.

b) todas las letras se usan.

c) se usan todas las letras pero la primera una vocal.

Permutaciones con Repeticiones

Cuantas palabras de 2 letras pueden formarse usando las letras de la palabra BENENZE.

 

Cuantas señales diferentes cada una consistente de 8 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse de un conjunto de 4 banderas rojas idénticas, 3 banderas blancas idénticas y una bandera azul.

 

Cuantas permutaciones pueden hacerse con la letra TENNESSEE.

 

Un hombre reparte monedas entre 10 personas en la siguiente forma:

1 de .50c, 2 de .25c, 3 de .10c y 4 de .05c. ¿De cuántas maneras puede repartirse el dinero si a cada persona le toca una moneda?

 

Encontrar el numero de permutaciones, cada una con 7 letras que pueden hacerse con las letras de la palabra.

a) WYOMING

b) KENTUCKY

c) WASHINGTON

 

De cuantas maneras se pueden sentar 6 personas en una fila de 9 sillas.

 

En un programa se van a cantar 7 canciones. En cuantos ordenes diferentes podrían cantarse.

 

De cuantas maneras pueden colocarse las letras de la palabra TEXAS si:

a) se usan todas las letras.

b) se usan 2 cada vez.

c) se usan 3 a la vez.

 

Obtener cuantos números pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ningún digito.

 

Cuantas quintas diferentes de baloncesto pueden formarse con 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posición.

Permutaciones Circulares

7 niños unidos de la mano forman un círculo. ¿De cuántas maneras puede formarse un círculo?

¿De cuántas maneras podría formarse una línea?

 

Diez personas van a sentarse a una mesa circular. Encontrar el número de colocaciones si el anfitrión y la anfitriona van a sentarse opuestos uno al otro.

 

De cuantas maneras puede seleccionarse un comité, escogiendo un grupo de 18 personas, si el comité debe estar compuesto de:

a) 3 miembros.

b) 14 miembros.

 

Un saco contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras encontrar el numero de maneras en que se pueden sacar 4 bolas del saco. Si:

a) pueden ser de cualquier color.

b) 2 deben ser blancas y 2 deben ser negras.

c) todas deben ser del mismo color.

 

12 personas se encuentran en un cuarto y cada una estrecha la mano de todas las demás. Encontrar el número de apretones de manos.

 

9 puntos sin estar en línea recta 3 de ellos se marcan en un pizarrón.

a) ¿Cuántas rectas cada una pasando por 2 puntos?

b) ¿Cuántos triángulos quedan determinados por los puntos?

 

Un obispo esta autorizado para nombrar un comité de 5 personas escogiendo entre 4 presbíteros y 8 diáconos. ¿Cuántos comités diferentes son posibles si 3 presbíteros han de ser miembros?

 

Un comité de 7 personas va a formarse escogiendo 4 republicanos y 3 demócratas. Encontrar el número de elecciones posibles si 7 republicanos y 8 demócratas son elegibles.

 

Un estudiante debe responder 8 de 10 preguntas en un examen.

a) Cuántas selecciones tiene.

b) Cuántas si debe responder las primeras 3 preguntas.

 

Cuantos comités de 5 personas con un director dado pueden conformarse a partir de 12 personas.

Ver:

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¡Dios Te Bendiga!

Los invito a hacer mucha oración por la paz.

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