Investigación de Operaciones


Investigación de Operaciones

Muñoz Rodolfo – Ochoa María – Morales Manuel

McGrawHill

 

Modelos Cuantitativos para Administración

Davis - McKeown

Iberoamérica

Investigación de Operaciones

Herbert – Gordon

Prentice Hall

 


Formulación de modelos de Programación Lineal

VIDEO 1: Introducción a la programación lineal. Tips para formular un modelo de PL.

 

EJEMPLO 1: La Smith Motors, Inc., vende automóviles normales y vagonetas. La compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades.

 

EJEMPLO 2: La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

 

Ingrediente

Producto

Alpha

Baker

Charlie

Mad

4

7

8

Mud

3

9

7

Mod

2

2

12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse.

 

EJEMPLO 3: La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

 

EJEMPLO 4: La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para la adquisición de la licencia, la Beta está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos; vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestra en la siguiente tabla. El consejo de administración de la Beta ha autorizado $500,000 para la adquisición de vehículos. La Beta ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1 ½ vagonetas y cada autobús grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Beta determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehículos

Precio de compra

Utilidad anual neta esperada

Vagoneta

$             6,500.00

$2,000

Autobús pequeño

$           10,500.00

2800

Autobús grande

$           29,000.00

6500

 

EJEMPLO 5: Un granjero desea determinar el costo diario más bajo de la mezcla de pastura para su ganado. Para cumplir con los requerimientos mínimos de nutrición, la mezcla deberá de contener al menos 10000 unidades del nutriente A, 20000 unidades del nutriente B y 15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para él, y cada libra del primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del nutriente B y 200 del nutriente C; y cada libra del segundo cuesta $0.20 y contiene 200 unidades del nutriente A, 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo de programación lineal.

 

 

EJEMPLO 6: Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres deptos. principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:

 

 

Requerimientos unitarios de tiempo (hrs)

Hrs. disponibles en el presente mes

Modelo S-1000

Modelo S-2000

Depto. de estructura principal

4.0

2.0

1600

Depto. de alumbrado eléctrico

2.5

1.0

1200

Depto. de ensamble

4.5

1.5

1600

 

La contribución del modelo S-1000 es de $40.00 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10.00 por unidad. Se pide formular este problema como un modelo de prog. lineal.

 

EJEMPLO 7: Considere la decisión de planeación de producción de una compañía que hace válvulas y pistones. Ambas piezas deberán ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador y, además, el pistón deberá ser pulido. Cada válvula y cada pistón requieren cierta cantidad de acero. La siguiente tabla resume la cantidad de cada recurso usados en producir válvulas y pistones, la utilidad unitaria y la cantidad de recursos disponibles:

 

Torno (hrs)

Esmeril (hrs)

Pulidora (hrs)

Acero (hrs)

Válvula

0.3

1.0

0.0

1.0

Pistón

0.5

1.5

0.5

1.0

Recursos disponibles

Torno: 300 hrs.

Esmeriladora: 750 hrs.

Pulidora: 200 hrs.

Acero: 600 hrs.

 

La compañía desea determinar el valor de las variables de decisión si las utilidades unitarias esperadas son de $3.00 y $4.00 para válvulas y pistones respectivamente.

 

EJEMPLO 8: Una compañía fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres maquinas. El tiempo por maquina asignado a los dos productos está limitado a 10 hrs/día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto se dan a continuación.

 

Producto

Tiempo de producción

Ganancia ($/unid)

Maq. 1

Maq. 2

Maq. 3

1

10 min.

6 min.

8 min.

$20

2

5 min.

20 min.

15 min.

$30

Tiempo disp. (hrs/día)

10 hrs.

600 min.

10 hrs.

600 min.

10 hrs.

600 min.

 

Determine la combinación óptima de producción para maximizar las ganancias.

 

EJEMPLO 9: Una compañía fabrica los productos A, B, C y D los cuales pasan por los departamentos de cepillado, fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en horas, la contribución, capacidad de producción de cada departamento y las demandas mínimas de venta son:

 

DEPARTAMENTO (HRS/UNID.)

Contrib. por unid.

Prod.

Cepillado

Fresado

Taladro

Ensamble

Dem. min.

$80.00

A

0.5

2.0

0.5

3.0

100 u

90.00

B

1.0

1.0

0.5

1.0

600 u

70.00

C

1.0

1.0

1.0

2.0

500 u

60.00

D

0.5

1.0

1.0

3.0

400 u

Tiempo disp.

1800 hrs.

2800 hrs.

3000 hrs.

6000 hrs.

 

Formule un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades.

 

EJEMPLO 10: Una corporación ha decidido producir tres nuevos artículos, ya que en sus cinco plantas tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario de manufacturación para el primer producto podría ser de $31.00, $29.00, $32.00, $28.00 y $29.00 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente, por unos costos unitarios de $45.00, $41.00, $46.00, $42.00 y $43.00 para el producto 2 y de $38.00, $35.00, $40.00, $29.00 y $32.00 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad de 2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artículos en sus diferentes combinaciones. Si los pronósticos de ventas indican que se podrían vender 1500, 2500, y 4000 unidades de los artículos 1, 2 y 3. ¿Cuál debería ser el numero optimo de unidades para cada artículo con el fin de minimizar los costos totales?

 

EJEMPLO 11: Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón tipo A es de alta calidad y el cinturón de tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada cinturón es de $40.00 para el tipo A y de $25.00 para el tipo B. Cada cinturón del tipo A requiere el doble de tiempo de fabricación que el cinturón de tipo B. Si todos los cinturones fueran del tipo B, la compañía fabricaría 1000 unidades por día. El abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones A y B combinados, el cinturón tipo A requiere una hebilla especial de las que solo se dispone de 400 por día, por 700 de las que lleva el cinturón tipo B. Construya el modelo de programación lineal que maximice las ganancias totales.

 

EJEMPLO 12: Un fabricante de gasolina de aviación vende dos clases de combustible, A y B. El combustible clase A tiene 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones por hora respectivamente de las gasolinas grado 2 y 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por galón, mientras que la clase B alcanza 90 por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible?

 

EJEMPLO 13: La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra del mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.

 

EJEMPLO 14: La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La maquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La maquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de 800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal.

 

EJEMPLO 15: Una compañía de inversiones debe escoger entre cuatro proyectos que están compitiendo por una bolsa fija de inversiones de $1,200,000. La inversión neta y los réditos estimados de cada proyecto se dan en la tabla. Cada uno de los proyectos se puede consolidar a cualquier nivel fraccionario < 100%. Formule un modelo de programación lineal que diga qué fracción de cada proyecto contratar para maximizar los réditos esperados.

Centros comerciales

$400,000

$575,000

Aceite de esquistos

500,000

750,000

Casa de bajos ingresos

350,000

425,000

Low-Income Housting

450,000

510,000

   
     
     
     
     
   
     
     
     
     

EJEMPLO 16: El entrenador Sam “Gator” Jones está tratando de decidir qué jugadores de baloncesto deben participar en el entrenamiento a campo traviesa. Puede elegir entre 11 jugadores, pero sólo desea llevar a 9, “Gator” desea maximizar el promedio de puntos para el equipo que viaje, sujeto a varias restricciones. Plantee un problema de PE para maximizar los puntos.

1)Debe haber cuando menos tres defensas (G)
2)Debe haber cuando menos tres delanteros (F)
3)Debe haber cuando menos dos medios (C)
4)Si va Stafford, entonces Jacobson debe quedarse en casa, y viceversa.
5)Si Burton va, entonces el entrenador Jones desea también llevar a Greve, pero no necesariamente al contrario.

Los nombres, posiciones y puntos promedios para los jugadores se presentan en seguida:

Método Simplex y Gráfico

EJEMPLO 1: Problema simplex de maximizar con restricciones de menor o igual, utilizando la técnica de los renglones Zj y Cj-Zj. Con intersección de 1 en la tabla incial. La columna pivote es el mayor positivo. Llegas a la solución óptima cuando tienes valores negativos en tu renglón Cj-Zj.

Max Z = 1.5 x1 + 1.2 x2

s.a.

  x1 < 6000

  x1 + x2 < 800

  2 x2 + x1 < 700

  Xi > 0

 

EJEMPLO 2: Problema simplex de minimizar, empleando la técnica de los renglones Zj y Cj-Zj. La columna pivote es el menor negativo. Llegas a la solución óptima cuando tienes valores positivos en tu renglón Cj-Zj.

Min z = 1.5 x1 + 2 x2

s.a.

  2 x1 + 2 x2 < 8

  2 x1 + 6 x2 > 12

  Xi > 0

 

EJEMPLO 3: Problema simplex de maximizar, usando la técnica de despeje de la función objetivo y se compara con la técnica de Cj-Zj. La columna pivote es el mayor positivo. Llegas a la solución óptima cuando tienes valores positivos en tu renglón Z.

Max Z = 40 x1 + 60 x2

s.a.

  3 x1 + 2 x2 <2000

  x1 + 2 x2 <1000

Xi > 0

 

EJEMPLO 4:  Método gráfico. Max Z = 500 x1 + 1000 x2

x1 < 200

2.5x1 + 5.5x2 < 1200

x1 + x2 < 500

xi > 0

 

EJEMPLO 5: Método gráfico. Max Z = 20 x1 + 10 x2

x1 < 70

x2 < 50

x1 + 2x2 < 120

x1 + x2 < 90

Xi > 0

 

EJEMPLO 6: Método simplex usando la técnica Cj-Zj. Problema de maximizar con dos restricciones de menor o igual. Con valor diferente de uno en la intersección. La columna pivote es el mayor positivo.

Max Z = 5x1 + 6x2

s.a.

4x1 + 4x2 < 32

3x1 + 9x2 < 36

 

EJEMPLO 7: Método gráfico. Max Z = 5x1 + 6x2

s.a.

4x1 + 4x2 < 32

3x1 + 9x2 < 36

 

EJEMPLO 8: Método simplex con la técnica de Cj-Zj. Columna pivote el mayor positivo en Cj-Zj. Solución óptima cuando son negativos.

Max Z = 20 x1 + 10 x2

s.a.

x1 < 70

x2 < 50

x1 + 2x2 < 120

x1 + x2 < 90

 

EJEMPLO 9: Método simplex de las dos fases usando la técnica del renglón Cj-Zj, usando fracciones.

Min z = 1.5 x1 + 2 x2

s.a.

  2 x1 + 2 x2 < 8

  2 x1 + 6 x2 > 12

  Xi > 0

Análisis de Sensibilidad

EJEMPLO 1: Problema dual de Minimizar, teoría de dualidad, propiedades del primal-dual, pasar el problema primo al dual.

 

EJEMPLO 2: Problema dual de Maximizar, teoría de dualidad, propiedades del primal-dual, pasar el problema primo al dual.

 

EJEMPLO 3: Introducción al análisis de sensibilidad. Cambios en el vector de disponibilidad de recursos. Cambios en los coeficientes tecnológicos. Adición de una variable.

Transporte y Asignación

EJEMPLO 1: Método de la esquina noroeste. Explicación paso por paso en cuaderno y explicación dinámica con powerpoint. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 2: Método de la esquina noroeste. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el algoritmo de transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 3: Método de aproximación de Vogel. Explicación paso a paso en cuaderno. Método de solución inicial en el problema de transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 4: Método de aproximación de Vogel. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el algoritmo de transporte. Agregando origen, almacén ó renglón ficticio.

 

EJEMPLO 5: Método de costos mínimos. Explicación en cuaderno paso a paso. Método de solución incial en el modelo de transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 6: Método de costos mínimos. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el problema de transporte. Agregando destino, cliente ó columna ficticia.

 

EJEMPLO 7: Método húngaro. Explicación didáctica en PowerPoint. Modelo de asignación balanceado (minimizar).

 

EJEMPLO 8: Método de solución óptima. Método del arroyo o salto de piedra en piedra. Método de la piedra rodante o del banquillo. Ejemplo con 1 índice de mejoramiento negativo.


Programación Dinámica Determinista

EJEMPLO 1: Determine el plan de producción de cajas de tortillas que deben fabricarse en los próximos 7 meses para cumplir con un pedido especial de 200 cajas de tortilla mensual y maximizar las utilidades totales.

 

Utilidades para varios tamaños

Tamaño del lote                   Utilidad

200 cajas                              $1000

400 cajas                              $2500

600 cajas                              $3750

800 cajas                              $4750

 

EJEMPLO 2: Una compañía dispone de 5 agentes de venta y desea asignarlos óptimamente en 4 áreas de venta, de tal forma que se obtengan las máximas utilidades. Las estimaciones de las ganancias en miles de pesos son las siguientes:

No. de agentes

Area de vta. 1

Area de vta. 2

Area de vta. 3

Area de vta. 4

1

150

160

165

230

2

170

180

190

210

3

190

200

200

220

4

220

220

225

230

5

180

190

195

210

Utilice la programación dinámica para determinar la asignación óptima de agentes en cada área de modo que se maximicen las ganancias totales.

 

EJEMPLO 3: Max Z = 12 x1 + 15 x2 + 8 x3 + 5 x4 + 11 x5

s.a.     2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 + 6 x5 < 9

                        Xj = 0 (no se hace) ó 1 (se hace)

 

EJEMPLO 4: Encontrar la ruta más corta entre las ciudades 1 y 12. Aplique programación dinámica.

Líneas de Espera (Teoría de Colas)

Modelos de Decisión

EJEMPLO 1: Evelyn Brown es la despachadora de la Shope Trucking Company de Silver City, en Dakota del Norte. En su empleo, debe elegir las rutas para que los camiones hagan las entregas. Se ha sabido que una ruta específica que va de Silver City a Franklin ha ocasionado problemas en el pasado. Los problemas se deben a derrumbes e inundaciones cuando llueve. El mapa de la siguiente figura muestra los diversos caminos que unen Franklin y Silver City con las áreas problemáticas. Los tiempos de viaje en posibles partes de este recorrido son los siguientes.

Parte del viaje

Tiempo en automóvil

A-B

30

A-C

15

A-C-D

20

A-B-E

45

A-C-D-E

50

D-B

15

D-E

30

Si se envía un camión de Silver City a través de la ruta 64 y el puente no está funcionando, tendría que regresar a Silver City y dirigirse después a Cowee Road. De manera similar, si un camión va por Cowee Road y encuentra derrumbes, entonces tendría que regresar por la ruta 64 y dirigirse al camino vecinal 1101. Acaba de llover, y Evelyn intenta determinar cuál es la mejor ruta para enviar una flotilla de camiones, de manera que puedan evitarse las demoras en la medida de lo posible. (Nota: puede haber inundaciones y derrumbes al mismo tiempo.

a)    Elabore una matriz de costos que muestre todas las alternativas posibles, los estados de la naturaleza y los tiempos correspondientes de viaje.

b)    Elija un modelo de decisión que pueda utilizarse para elegir qué alternativa debe seguirse en este problema.

EJEMPLO 2: Joe Patrick, de la Patrick Manufacturing Company, tiene la oportunidad de colocar una cotización en uno de tres grandes proyectos gubernamentales de investigación. Los códigos del proyecto son Zeus, Thor y Atlas. Joe puede presentar una cotización para cada uno de los tres proyectos, pero existen diferentes costos de preparación y niveles de financiamiento para cada uno. Los estados de la naturaleza son los tres proyectos que pueden financiarse. El costo de la cotización para cada proyecto y la cantidad bruta del valor del contrato para cada uno de los tres estados de la naturaleza son:

Proyecto

Costo

Asignación

Thor

$40,000

$80,000

Zeus

$50,000

$150,000

Atlas

$100,000

$125,000

a)    Elabore una matriz de pagos con base en los fondos netos que recibiría la Patrick Company.

b)    Aplique cada uno de los modelos de decisión apropiados a este problema para elegir la estrategia que la Patrick Company debe utilizar.

 

EJEMPLO 3: Para cierto problema de decisión se ha calculado la matriz de pagos de la siguiente tabla. Utilizando el modelo de decisión del VME, calcule la decisión que arroja el mayor pago esperado.

 

Estado de la naturaleza

Alternativa

N1

N2

N3

A1

30

35

25

A2

15

40

25

A3

30

30

30

A4

20

30

45

Probabilidad

0.4

0.3

0.3

 

EJEMPLO 4: La Kinsey Bake Shop se especializa en pasteles de pera. Los pasteles se venden al público a un precio de $3.50 y sus costos de producción son $2.00. Cualesquiera pasteles que no se venden al día siguiente de que se fabrican pueden venderse a un proveedor institucional en sólo $1.25. La propietaria de la Kinsey Bake Shop, Laura Kinsey, ha recopilado algunos datos estadísticos sobre la demanda anterior:

Demanda diaria

0

10

20

30

40

50

60 o más

Número de días

5

5

15

10

10

5

0

a)    Calcule la utilidad neta para cada alternativa de producción.

b)    Determine la mejor alternativa de producción utilizando el modelo de VME.

c)    ¿Cuál es el valor de la información perfecta para esta decisión?

 

EJEMPLO 5: Cada tres días, la Bishop Produce Company debe decidir cuántas cajas de fresas debe pedir para los siguientes tres días. Ben Jones, gerente de la Bishop Produce Company, ha determinado que si el clima es bueno en general durante ese periodo de tres días, puede vender 100 cajas, en tanto que si el clima no es tan bueno puede vender sólo 75 cajas. Si el clima es malo, las ventas son muy deficientes y puede vender sólo 50 cajas durante los tres días. Dado que la duración de las fresas en los anaqueles es de sólo tres días, las fresas que no se venden deben tirarse y no tienen ningún valor de recuperación. Ben puede comprar fresas en $0.50 la caja y venderlas en $1.00 la caja. Los registros pasados del clima muestran que para cualquier periodo de tres días, el clima es bueno 50% del tiempo, regular 20% del tiempo y malo 30% de las veces. Con base en los datos que se proporcionan:

a)    Defina cuáles son las alternativas y los estados de la naturaleza para Ben (se suponen tres alternativas) y elabore una matriz de pagos.

b)    Determine la alternativa de mayores utilidades que podría emplear Ben para ordenar las fresas.

c)    ¿Cuál es el valor de la información perfecta para este problema?

 

EJEMPLO 6: En cada uno de los juegos locales de futbol de la Yeehaw State University, los estudiantes locales de nivel superior venden programas. Los estudiantes pueden adquirir los programas en $1.00 y venderlos e $1.50. Los programas que no se venden carecen de valor después del juego, por lo que representan una pérdida para los estudiantes. El número de programas que un estudiante individual puede vender depende de la cantidad de personas que acude al juego. Dado que muchos aficionados adquieren boletos en la entrada, no hay manera de saber con anticipación la cantidad de personas que acude a cualquier juego. Al estudiar los registros anteriores de asistencia, Gay Bugbee, un vendedor local de programas, ha determinado que se venden todos los boletos 50% de las veces, se vende 90% de la capacidad del estadio 30% de las veces y el 20% de los juegos tienen una entrada del 80% de su capacidad. Sus registros de ventas muestran que cuando hay un “lleno completo” puede vender 200 programas; cuando hay una entrada del 90% puede vender 150 programas, y cuando es del 80% puede vender 100 programas. Si usted fuera amigo de Gay, ¿cuántos programas le sugeriría comprar para vender en cada uno de los juegos?

Cadenas de Markov

EJEMPLO 1: Para la siguiente matriz de transición, calcule la probabilidad de encontrarse en el estado A o B después de tres periodos para un estado inicial de [ 0.5 0.5 ]

      A   B

A   0.3   0.7

B   0.5   0.5

 

EJEMPLO 2: Para la matriz de transición del ejemplo 1, calcule las probabilidades del estado estacionario para los estados A y B.

 

EJEMPLO 3: La Avertz Company renta su flotilla de 500 automóviles. Se inspecciona cada automóvil una vez a la semana. Durante este tiempo, pudo haber estado rentado, puede habérsele dado mantenimiento, o pueden haber sucedido ambas cosas. En la primera semana de Junio, se determinó que 400 automóviles estaban en condiciones de ser rentados, 80 necesitaban reparaciones mayores. En la segunda semana de junio, 350 de los automóviles que estaban en buenas condiciones se encontraban en las mismas circunstancias, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban reparaciones mayores. De los 80 automóviles que necesitaban reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían requiriendo reparaciones menores y otros 5 requerían reparaciones mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores y 2 seguían necesitando reparaciones mayores. Elabore una matriz de transición para este problema.

 

EJEMPLO 4: La Bulldog Company ha ganado un contrato para construir una carretera que vaya al área del Monte Santa Helena en Washington. Esta carretera ayudará a estudiar los efectos de la explosión volcánica de 1980. La Bulldog ha determinado que el polvo volcánico obstruirá los filtros de las máquinas con mucha rapidez y provocará que los camiones dejen de funcionar. Los filtros se revisan todos los días y se clasifican como recién limpiados, parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias anteriores han mostrado que un filtro que se acaba de limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de permanecer limpio, una probabilidad de 0.8 de quedar parcialmente obstruido y una probabilidad de 0.1 de quedar totalmente obstruido. Un filtro que ya está parcialmente obstruido tiene una probabilidad de 0.5 de permanecer en el mismo estado y una probabilidad de 0.5 de quedar totalmente obstruido. Para poder utilizar un camión que tiene un filtro totalmente obstruido éste se debe limpiar primero.

a)    Elabore una matriz de transición para este problema.

b)    Si un camión deja de operar, esto le cuesta a la compañía $100 por el tiempo perdido de trabajo y $20 para limpiar el filtro. ¿Cuánto le costará a la compañía seguir una política de no filtrar los filtros sino hasta que se detengan los camiones?

 

EJEMPLO 5: Una tienda de departamentos regional y grande, la Silverland’s, tiene un plan de cuentas de crédito en sus tiendas. Cada mes se clasifican esas cuentas en cuatro categorías: saldadas, que no tienen saldo a pagar en el mes; las cuentas con saldo insoluto son las que no adeudan saldos del mes anterior, pero a las que les han cargado compras realizadas en el mes; las cuentas vencidas son las que tienen un saldo que ha permanecido sin pagarse durante más de un mes, pero menos de tres. Por último, las cuentas perdidas son las que tienen un saldo con más de tres meses de vencido y que no se espera poder cobrar. De los registros de la tienda, se ha determinado que 60% de las cuentas con saldo insoluto se paga al siguiente mes, 30% permanece en la misma categoría y 10% se convierte en saldo vencido. También se ha determinado que 40% de las cuentas vencidas se convierten en saldos insolutos, 30% se pagan, 20% permanecen vencidas y 10% se cancelan como cuentas perdidas. Una vez que una cuenta llega a la categoría de perdida, se le cancela. De manera similar, una vez que una cuenta pasa a la categoría de saldada, ese dinero ya no es parte de las cuentas por cobrar.

a)    Escriba la matriz de transición para este problema.

b)    Si en la actualidad existen $100,000 de las cuentas por cobrar en la categoría de saldadas, $50,000 en la categoría de saldo insoluto, $20,000 en la categoría de saldos vencidos y $5000 en la categoría de cuentas perdidas, ¿qué cantidad habrá en cada categoría al mes siguiente? ¿Y al mes después de éste?

En la condición de estado estacionario, ¿qué porcentaje de dinero de las cuentas por cobrar se encontrará en la categoría de saldadas o de cuentas perdidas?