IO.1 Formulación de Modelos de Programación Lineal

IO.1.0 Introducción a la Programación Lineal. Tips para formular o plantear un modelo de PL.

 

 

IO.1.01 La Smith Motors, Inc., vende automóviles normales y vagonetas. La compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades.

 

 

IO.1.02 La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

 

Ingrediente

Producto

Alpha

Baker

Charlie

Mad

4

7

8

Mud

3

9

7

Mod

2

2

12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse.

 

 

IO.1.03 La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

 

 

IO.1.04 La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para la adquisición de la licencia, la Beta está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos; vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestra en la siguiente tabla. El consejo de administración de la Beta ha autorizado $500,000 para la adquisición de vehículos. La Beta ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1 ½ vagonetas y cada autobús grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Beta determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehículos

Precio de compra

Utilidad anual neta esperada

Vagoneta

$             6,500.00

$2,000

Autobús pequeño

$           10,500.00

2800

Autobús grande

$           29,000.00

6500

 

 

IO.1.05 Un granjero desea determinar el costo diario más bajo de la mezcla de pastura para su ganado. Para cumplir con los requerimientos mínimos de nutrición, la mezcla deberá de contener al menos 10000 unidades del nutriente A, 20000 unidades del nutriente B y 15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para él, y cada libra del primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del nutriente B y 200 del nutriente C; y cada libra del segundo cuesta $0.20 y contiene 200 unidades del nutriente A, 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo de programación lineal.

 

 

IO.1.06 Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres deptos. principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:

 

Requerimientos unitarios de tiempo (hrs)

Hrs. disponibles en el presente mes

Modelo S-1000

Modelo S-2000

Depto. de estructura principal

4.0

2.0

1600

Depto. de alumbrado eléctrico

2.5

1.0

1200

Depto. de ensamble

4.5

1.5

1600

La contribución del modelo S-1000 es de $40.00 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10.00 por unidad. Se pide formular este problema como un modelo de programación lineal.

 

 

IO.1.07 Considere la decisión de planeación de producción de una compañía que hace válvulas y pistones. Ambas piezas deberán ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador y, además, el pistón deberá ser pulido. Cada válvula y cada pistón requieren cierta cantidad de acero. La siguiente tabla resume la cantidad de cada recurso usados en producir válvulas y pistones, la utilidad unitaria y la cantidad de recursos disponibles:

 

Torno (hrs)

Esmeril (hrs)

Pulidora (hrs)

Acero (hrs)

Válvula

0.3

1.0

0.0

1.0

Pistón

0.5

1.5

0.5

1.0

Recursos disponibles

Torno: 300 hrs.

Esmeriladora: 750 hrs.

Pulidora: 200 hrs.

Acero: 600 hrs.

La compañía desea determinar el valor de las variables de decisión si las utilidades unitarias esperadas son de $3.00 y $4.00 para válvulas y pistones respectivamente.

 

 

IO.1.08 Una compañía fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres maquinas. El tiempo por maquina asignado a los dos productos está limitado a 10 hrs/día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto se dan a continuación.

Producto

Tiempo de producción

Ganancia ($/unid)

Maq. 1

Maq. 2

Maq. 3

1

10 min.

6 min.

8 min.

$20

2

5 min.

20 min.

15 min.

$30

Tiempo disp. (hrs/día)

10 hrs.

600 min.

10 hrs.

600 min.

10 hrs.

600 min.

 

Determine la combinación óptima de producción para maximizar las ganancias.

 

 

IO.1.09 Una compañía fabrica los productos A, B, C y D los cuales pasan por los departamentos de cepillado, fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en horas, la contribución, capacidad de producción de cada departamento y las demandas mínimas de venta son:

DEPARTAMENTO (HRS/UNID.)

Contrib. por unid.

Prod.

Cepillado

Fresado

Taladro

Ensamble

Dem. min.

$80.00

A

0.5

2.0

0.5

3.0

100 u

90.00

B

1.0

1.0

0.5

1.0

600 u

70.00

C

1.0

1.0

1.0

2.0

500 u

60.00

D

0.5

1.0

1.0

3.0

400 u

Tiempo disp.

1800 hrs.

2800 hrs.

3000 hrs.

6000 hrs.

 

Formule un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades.

 

 

IO.1.10 Una corporación ha decidido producir tres nuevos artículos, ya que en sus cinco plantas tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario de manufacturación para el primer producto podría ser de $31.00, $29.00, $32.00, $28.00 y $29.00 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente, por unos costos unitarios de $45.00, $41.00, $46.00, $42.00 y $43.00 para el producto 2 y de $38.00, $35.00, $40.00, $29.00 y $32.00 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad de 2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artículos en sus diferentes combinaciones. Si los pronósticos de ventas indican que se podrían vender 1500, 2500, y 4000 unidades de los artículos 1, 2 y 3. ¿Cuál debería ser el numero optimo de unidades para cada artículo con el fin de minimizar los costos totales?

 

 

IO.1.11 Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón tipo A es de alta calidad y el cinturón de tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada cinturón es de $40.00 para el tipo A y de $25.00 para el tipo B. Cada cinturón del tipo A requiere el doble de tiempo de fabricación que el cinturón de tipo B. Si todos los cinturones fueran del tipo B, la compañía fabricaría 1000 unidades por día. El abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones A y B combinados, el cinturón tipo A requiere una hebilla especial de las que solo se dispone de 400 por día, por 700 de las que lleva el cinturón tipo B. Construya el modelo de programación lineal que maximice las ganancias totales.

 

 

IO.1.12 Un fabricante de gasolina de aviación vende dos clases de combustible, A y B. El combustible clase A tiene 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones por hora respectivamente de las gasolinas grado 2 y 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por galón, mientras que la clase B alcanza 90 por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible?

 

 

IO.1.13 La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra del mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.

 

 

IO.1.14 La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La maquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La maquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de 800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal.

 

 

IO.1.15 Una compañía de inversiones debe escoger entre cuatro proyectos que están compitiendo por una bolsa fija de inversiones de $1,200,000. La inversión neta y los réditos estimados de cada proyecto se dan en la tabla. Cada uno de los proyectos se puede consolidar a cualquier nivel fraccionario < 100%. Formule un modelo de programación lineal que diga qué fracción de cada proyecto contratar para maximizar los réditos esperados.

Centros comerciales

$400,000

$575,000

Aceite de esquistos

500,000

750,000

Casa de bajos ingresos

350,000

425,000

Low-Income Housting

450,000

510,000

   
     
     
     
     
   
     
     
     
     

IO.1.16 El entrenador Sam “Gator” Jones está tratando de decidir qué jugadores de baloncesto deben participar en el entrenamiento a campo traviesa. Puede elegir entre 11 jugadores, pero sólo desea llevar a 9, “Gator” desea maximizar el promedio de puntos para el equipo que viaje, sujeto a varias restricciones. Plantee un problema de PE para maximizar los puntos.

1) Debe haber cuando menos tres defensas (G)

2) Debe haber cuando menos tres delanteros (F)

3) Debe haber cuando menos dos medios (C)

4) Si va Stafford, entonces Jacobson debe quedarse en casa, y viceversa.

5) Si Burton va, entonces el entrenador Jones desea también llevar a Greve, pero no necesariamente al contrario.

Los nombres, posiciones y puntos promedios para los jugadores se presentan en seguida:

 

 

IO.1.17 La Clear-Tube Company fabrica partes electrónicas para aparatos de televisión y radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios de AM/FM y tocacintas. Ha construido una planta que puede operar hasta 48 horas semanales con gastos fijos de $10,000 por semana. La producción de un radio AM/FM requiere de 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye con $20 a las utilidades y cada tocacintas con $25. El departamento de mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 tocacintas. Plantee un problema de PL para determinar la mezcla optima de producción que maximice la contribución a las utilidades.

 

 

IO.1.18 Un entrenador de futbol americano tiene disponibles 3 jugadores que puede utilizar en forma indistinta en la defensa. Cualquiera de los tres jugadores, puede jugar en cualquiera de las tres posiciones. Quarterback, Fullback o Tallback. El entrenador desea maximizar la cantidad combinada de avance, que se logra con los tres jugadores colocándolos en la mejor posición. En la siguiente tabla se indican las yardas promedio que han ganado por juego en su desempeño anterior.

Plantee esto como un problema de PL para maximizar el total de yardas que se ganan.

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Comentarios: 1
  • #1

    Cesar Cano (sábado, 29 diciembre 2018 12:51)

    Hola buenas tardes, tengo este problema que no me sale me podrian ayudar:

    Una panadería local produce pan francés (F) y ciabatta (C). Cada pan francés requiere 6 onzas de harina, 1 gramo de levadura y 2 cucharadas de azúcar. Un pan ciabatta requiere de 3 onzas de harina, 1 gramo de levadura y 4 cucharadas de azúcar. La empresa cuenta con 6.600 oz de harina, 1.400 gramos de levadura, y 4.800 cucharadas de azúcar disponible para la cocción de hoy. El pan francés genera ganancias de 20 centavos cada uno y los beneficios del pan ciabatta son de 30 centavos cada uno. Apoyado en el método gráfico, determine la solución óptima para maximizar la ganancia y el valor óptimo.